O'Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓)、0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限)。O'Stolz定理用于数列，它有函式形式的推广，这两个都可以认为是洛必达法则的离散版本。
基本介绍
- 中文名：O'Stolz定理、施笃兹定理、施托尔兹定理
- 外文名：The O'Stolz theorem
- 性质：定理
- 学科：数学
- 用于：不定式数列极限
定理简介
(
型) 设数列
、
满足：①
严格单调递增 ②
③
(其中
可以为有限实数、
、
)
则
这个是较常用的版本
(
型) 设数列、满足：①严格单调递减且趋于零 ②
③ (其中可以为有限实数、、)
则
证明过程
一、
型
(当
为有限实数时)由
，
，
，当
时，
， 即
(这里可以把
乘到不等号另一边是因为
严格单调递增，所以
，乘到不等号另一边时不变号)
又由
，∴
，当
时，
(这里是根据数列趋于正无穷大的定义)，∴
(注一)
取
，当
时，从
到
对
式累加，有
累加得
同除
(还是因为
严格单调递增， ，
，
)，还注意到
，因为
，
即
，由 ，且
、
是常数，因为
是确定的下标！由极限的四则运算法则，
(注二)，
，同理
，再由极限的四则运算法则，
，
[1]
即
，
__________________________________________________________________________________________
为了方便初学者，这里解释一下以上的跳步。注意以下的注里出现的符号与上面证明的符号是分开的！比如注一的
与证明里的
不同啊，初学者不要搞混。
注一：我们可以证明，若 ，则 ，
证明：由 ，
，
，当
时， ，
，∴
， ，当 时，
，即
注二：由注一， ，可推出
，相当于去掉了第一项，然而极限是趋于无穷的行为，有没有这一点对极限毫无影响，后面的
也是如此，当然这一点是可以证明的，这里略去。可以看[2]的第4题的证明过程。
还有倒数第二段那里一堆的使用极限四则运算法则，严谨性是达到了，为了初学者能正确掌握，但是看起来很繁琐，其实这段里面的一些步骤在已经学了数学分析的同学眼里是已知的，无须写出来的。所以如果你要在正式场合写该定理的证明，以上证明中的"因为"后面的解释说明和倒数第二段的繁杂过程可以删减，按你的意愿做相应简化即可。
一个例子
例：求极限
(k为正整数)。
解：令
，
由O'Stolz定理
=
=
注：
