如果没有任何*的声明，那幺就是POSITIONAL_OR_KEYWORD类型的，如同语义一样，POSITIONAL_OR_KEYWORD类型的参数可以通过位置POSITIONAL传参调用，也可以过关键字KEYWORD传参。以下是一个最简单的例子：

def foo(a):

pass

# 位置传参调用

foo(1)

# 关键字传参调用

foo(a=1)

第二种是可变的位置参数，通过一个*前缀来声明，如果你看到一个*xxx的函式参数声明（不是函式调用！声明和调用是两种不同的含义的），那一定是属于VAR_POSITIONAL类型的，如同语义，这种类型的参数只能通过位置POSITIONAL传参调用，不支持关键字KEYWORD传参，在函式内部，VAR_POSITIONAL类型的参数以一个元祖(tuple)显示，有一点需要注意的，VAR_POSITIONAL类型可以不传任何参数调用也不会报错，而且只允许存在一个。以下是一个简单的例子：

def foo(*b):

print(b)

# 不传参数不会报错，参数值是一个空元祖

foo() # 结果是 ()

# 可以传入任意个位置参数调用

foo(1, 2.0, '3', True) #结果是 (1, 2.0, '3', True)

第三种是关键字参数，这种参数只会在VAR_POSITIONAL类型参数的后面而且不带**前缀。如同语义，这类参数只能用关键字KEYWORD来传参，不可以用位置传参，因为位置传的参数全让前面的VAR_POSITIONAL类型参数接收完了，所以KEYWORD_ONLY只能通过关键字才能接收到参数值。以下是一个简单的例子：

# VAR_POSITIONAL不需要使用时，可以匿名化

def foo(*, c):

pass

# 只能关键字传参调用

foo(c=1)

第四种是可变的关键字参数，VAR_KEYWORD类型的参数通过**前缀来声明（不是函式调用！声明和调用是两种不同的含义的）。如同语义，这种类型的参数只能通过关键字KEYWORD调用，但可以接收任意个关键字参数，甚至是0个参数，在函式内部以一个字典(dict)显示。VAR_KEYWORD类型的参数只允许有一个，只允许在函式的最后声名。以下是简单的例子：

def foo(**d):

print(d)

# 不传参数不会报错，参数值是一个空字典

foo() # 结果是 {}

# 可以传入任意个关键字参数调用

foo(a=1, b=2.0, c='3', d=True) # 结果是 {'d': True, 'c': '3', 'b': 2.0, 'a': 1}

第五种是位置参数，选择最后说这个，是因为它一点也不重要，属于python的历史产物，你无法在高版本的python中创建一个POSITIONAL_ONLY类型的参数，在某种底层的内置函式也许会使用这类型的参数，但我试用inspect模组也没法正确识别它的命名，但在Ipython的??帮助下，还是能看到Init signature: dict(self, /, *args, **kwargs)这里的self就是位置参数POSITIONAL_ONLY了。相信我，你不会需要用到它的，现在python推荐用VAR_POSITIONAL来代替它。下面是一个综合示例：

import inspect

def foo(a, *b, c, **d):

pass

for name, parame in inspect.signature(foo).parameters.items():

print(name, ': ', parame.kind)

VAR类型不允许设定默认参数

POSITIONAL_OR_KEYWORD和KEYWORD_ONLY可以自定义默认参数，而VAR_POSITIONAL和VAR_KEYWORD不允许自定义默认参数的，因为VAR_POSITIONAL的默认参数是tuple()空元祖，而VAR_KEYWORD的默认参数是dict()空字典。如果自定义了默认参数的话，调用函式的时候可以不必传参，如果默认值是空的话，那就必须传参数才能调用。

默认参数的位置

POSITIONAL_OR_KEYWORD类型的默认参数一定要放在后面，否则会报错，KEYWORD_ONLY虽然没有强制要求，因为都是用关键字传参，谁先谁后都无所谓，但最好还是儘可能地放在后面吧。

默认参数不默认？

默认参数绝对不能设定为可变类型（比如list, dict, set），如果你在函式内改变了默认参数，下次再调用时它就不再是默认值了。

正确的示例：

def foo(p1, p2=2.0, *, k1, k2=None):

a_list = k2 or list()

pass

foo(1, k1='3')

在数学领域，函式是一种关係，这种关係使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.

自变数，函式一个与他量有关联的变数，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.

函式两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函式的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

～‖函式的定义：设x和y是两个变数，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变数y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变数y为变数x的函式，记作 y=f(x).

数集D称为函式的定义域，由函式对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函式值的全体称为函式的值域，对应法则和定义域是函式的两个要素。

functions

数学中的一种对应关係，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函式。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函式，记作y=f（x），称X为函式f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变数，y叫做因变数，习惯上也说y是x的函式。

若先定义映射的概念，可以简单定义函式为：定义在非空数集之间的映射称为函式。

例1：y=sinx X=[0，2π]，Y=[－1，1] ，它给出了一个函式关係。当然 ，把Y改为Y1=（a，b） ，a<b为任意实数，仍然是一个函式关係。

其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关係呈曲线，这代表一个函式，定义域为[0，b]。以上3例展示了函式的三种表示法：公式法， 表格法和图 像法。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变数X与Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有为一得值与其对应，那幺我们就说X是自变数，Y是X的函式。如果当X=A时Y=B，那幺B叫做当自变数的值为A时的函式值。

複合函式<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>

有3个变数，y是u的函式，y=ψ（u），u是x的函式，u=f（x），往往能形成链：y通过中间变数u构成了x的函式：

x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*&Iacute;U时，称f与ψ 构成一个複合函式， 例如 y=lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx>0 ，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx<0 ，lgsinx无意义，就成不了複合函式。

就关係而言，一般是双向的 ，函式也如此 ，设y=f（x）为已知的函式，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函式 ，记为x=f -1（y）。称f -1为f的反函式。习惯上用x表示自变数，故这个函式仍记为y=f -1（x） ，例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函式。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。

若能由函式方程F（x，y）=0 确定y为x的函式y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函式。

思考：隐函式是否为函式？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”

设点（x1，x2，…，xn） ∈G&Iacute;Rn，U&Iacute;R1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函式，G为定义域，U为值域。

基本初等函式及其图像幂函式、指数函式、对数函式、三角函式、反三角函式称为基本初等函式。

y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=（α为整数），当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的複合函式进行讨论。略图如图2、图3。

y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函式（即当x2>x1时，） ，00）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞）。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函式的图形均过点（1，0），对数函式与指数函式互为反函式。如图5。

以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。三角函式　见表2。

正弦函式、余弦函式如图6，图7所示。反三角函式　见表3。双曲正、余弦如图8。双曲函式　双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，双曲余切（ex+e-x）/（ex－e-x）。

补充

在数学领域，函式是一种关係，这种关係使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函式f（x）=y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函式的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函式，映射，对应，变换通常都是同一个意思。二次函式定义和性质　一般地，自变数x和因变数y之间存在如下关係：

y=ax^2+bx+c

二次函式的三个通式：

y=ax^2+bx+c （一般式，a≠0，对称轴：x=-b/（2a））

y=a(x-h)^2+k （顶点式，a≠0，对称轴：x=h）

y=a(x-x_1）（x-x_2） （交点式，a≠0，对称轴：x=|x_2-x_1|/2）

说明：在一般式中，抛物线与y轴相交的点的纵坐标值为c，抛物线顶点为[-b/（2a），（4ac-b^2）/（4a)]

在顶点式中，抛物线的顶点为（h,k）。

在交点式中，抛物线与x轴交与（x_1,0），（x_2,0）两点。（前提是当y等于0时，Δ大于0，当Δ等于0时，x_1=x_2）

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函式的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）

则称y为x的二次函式。

二次函式表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变数，y是x的函式

二次函式的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函式y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a，（4ac-b^2）/4a)</CA>

交点式：y=a(x-x?)(x-x) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]

其中x1，2= -b±√b^2－4ac

注：在3种形式的互相转化中，有如下关係：

______

h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函式的图像

在<a href="#">；平面直角坐标系中作出二次函式y=x^2的图像，

可以看出，二次函式的图像是一条抛物线。

抛物线的性质

⒈抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

⒉抛物线有一个顶点P，坐标为P (-b/2a ，（4ac-b^2）/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

⒊二次项係数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

⒋一次项係数b和二次项係数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

⒌常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

⒍抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函式在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函式，在{x|x>-b/2a}上是增函式；抛物线的开口向上；函式的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函式是偶函式，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

二次函式与一元二次方程

特别地，二次函式（以下称函式）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函式为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函式图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函式与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函式y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax^2

y=a(x-h)^2

y=a(x-h)^2+k

y=ax^2+bx+c

顶点坐标

（0，0)

（h，0)

（h，k)

（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)

对 称 轴

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0），若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

⑴图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

⑵当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0）和B(x?，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0），则当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变数值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定係数法求二次函式的解析式

⑴当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0）．

⑵当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0）．

⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0）．

7．二次函式知识很容易与其它知识综合套用，而形成较为複杂的综合题目。因此，以二次函式知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

1．（北京西城区）抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（　）

（A）直线x=1　（B）直线x=-1　（C）直线x=2　（D）直线x=-2

考点：二次函式y=ax2+bx+c的对称轴．

评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．

另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1）2，所以对称轴x=1，应选A．

2．（北京东城区）有一个二次函式的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函式解析式：　．

考点：二次函式y=ax2+bx+c的求法

评析：设所求解析式为y=a(x-x1）（x-x2），且设x1<x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0），B(x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）.

∵抛物线对称轴是直线x=4，

∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8　①

∵S△ABC=3，∴（x2- x1）·|a x1 x2|= 3，

即：x2- x1=　②

①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-

∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。

当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±

当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±

因此，所求解析式为：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）

即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3

说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

5．（河北省）如图13-28所示，二次函式y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（　）

A、6　B、4　C、3　D、1

考点：二次函式y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。

评析：由函式图象可知C点坐标为（0，3），再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那幺△ABC的面积为3，故应选C。

图13-28

6．（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函式关係：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30）。y值越大，表示接受能力越强。

⑴x在什幺範围内，学生的接受能力逐步增强？x在什幺範围内，学生的接受能力逐步降低？

⑵第10分时，学生的接受能力是什幺？

⑶第几分时，学生的接受能力最强？

考点：二次函式y=ax2+bx+c的性质。

评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13）2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13 时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函式自变数的範围为：0≤x≤30，所以两个範围应为0≤x≤13； 13≤x≤30。将x=10代入，求函式值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：

解：⑴y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13）2+59.9

所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。

当13<x≤30时，学生的接受能力逐步下降。

⑵当x=10时，y=-0.1（10-13）2+59.9=59。

第10分时，学生的接受能力为59。

⑶x=13时，y取得最大值，

所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

9．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函式关係式（不必写出x的取值範围）；

⑶商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

解：⑴当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–（55–50）×10=450（千克），所以月销售利润为

：（55–40）×450=6750（元）．

⑵当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–（x–50）×10]千克而每千克的销售利润是：（x–40）元，所以月销售利润为：

y=(x–40）[500–（x–50）×10]=(x–40）（1000–10x)=–10x2+1400x–40000（元），

∴y与x的函式解析式为：y =–10x2+1400x–40000．

⑶要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，

即：x2–140x+4800=0，

解得：x1=60，x2=80．

当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–（60–50）×10=400（千克），月销售成本为：

40×400=16000（元）；

当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–（80–50）×10=200（千克），月销售单价成本为：

40×200=8000（元）；

由于8000<10000<16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

I、定义与定义式：[一次函式]

自变数x和因变数y有如下关係：

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

则称y是x的一次函式。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函式。

Ⅱ、一次函式的性质：

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即 △y/△x=k

Ⅲ、一次函式的图象及性质：

1． 作法与图形：通过如下3个步骤⑴列表；⑵描点；⑶连线，可以作出一次函式的图象——一条直线。因此，作一次函式的图象只需知道2点，并连成直线即可。

2． 性质：在一次函式上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3． k，b与函式图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函式的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

Ⅳ、确定一次函式的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函式的表达式。

⑴设一次函式的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

⑵因为在一次函式上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。

⑶解这个二元一次方程，得到k，b的值。

⑷最后得到一次函式的表达式。

V、一次函式在生活中的套用

⒈当时间t一定，距离s是速度v的一次函式。s=vt。

⒉当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函式。设水池中原有水量S。g=S-ft。

反比例函式

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函式，叫做反比例函式。

自变数x的取值範围是不等于0的一切实数。

反比例函式的图像为双曲线。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函式图像。

三角函式是数学中属于初等函式中的超越函式的一类函式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。通常的三角函式是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到複数系。

由于三角函式的周期性，它并不具有单值函式意义上的反函式。

三角函式在複数中有较为重要的套用。在物理学中，三角函式也是常用的工具。

它有六种基本函式：

函式名正弦余弦正切余切正割余割

符号 sin cos tan cot sec csc

正弦函式sin（A）=a/h

余弦函式cos（A）=b/h

正切函式tan（A）=a/b

余切函式cot（A）=b/a

在某一变化过程中，两个变数x、y，对于某一範围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函式。这种关係一般用y=f(x）来表示。

⒈早期函式概念——几何观念下的函式

十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函式或称为变数关係的这一概念，用文字和比例的语言表达函式的关係。1673年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已注意到一个变数对另一个变数的依赖关係，但因当时尚未意识到要提炼函式概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函式的一般意义，大部分函式是被当作曲线来研究的。

1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函式）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变数间的关係。

⒉十八世纪函式概念──代数观念下的函式

1718年约翰?贝努利（Bernoulli Johann，瑞，1667－1748）在莱布尼兹函式概念的基础上对函式概念进行了定义：“由任一变数和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变数x和常量构成的式子都叫做x的函式，并强调函式要用公式来表示。

1755，欧拉（L．Euler，瑞士，1707－1783） 把函式定义为“如果某些变数，以某一种方式依赖于另一些变数，即当后面这些变数变化时，前面这些变数也随着变化，我们把前面的变数称为后面变数的函式。”

18世纪中叶欧拉（L．Euler，瑞，1707－1783）给出了定义：“一个变数的函式是由这个变数和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函式定义称为解析函式，并进一步把它区分为代数函式和超越函式，还考虑了“随意函式”。不难看出，欧拉给出的函式定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

⒊十九世纪函式概念──对应关係下的函式

1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857） 从定义变数起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关係，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变数，其他各变数叫做函式。”在柯西的定义中，首先出现了自变数一词，同时指出对函式来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函式关係可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

1822年傅立叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函式也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函式概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函式的认识又推进了一个新层次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859） 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关係无关紧要，他拓广了函式概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那幺y叫做x的函式。”这个定义避免了函式定义中对依赖关係的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函式定义。

等到康托（Cantor，德，1845－1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen，美，1880－1960）用“集合”和 “对应”的概念给出了近代函式定义，通过集合概念把函式的对应关係、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变数是数”的极限，变数可以是数，也可以是其它对象。

⒋现代函式概念──集合论下的函式

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函式，其避开了意义不明确的“变数”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。

1930 年新的现代函式定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函式，记为y=f(x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”

术语函式，映射，对应，变换通常都有同一个意思。

但函式只表示数与数之间的对应关係，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关係。可以说函式包含于映射。

正比例函式：

正比例函式y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

正是由于正比例函式y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．

（另：中文“函式”名称的由来

在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函式”，此译名沿用至今。对为什幺这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函式”；这里的“函”是包含的意思。）

深入研究一次函式

徐若翰

在学习一次函式时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际套用，以及如何改变图象的位置。

[例1]（2005年武汉市）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图。若返回时上、下一个坡的速度不变，那幺小明从学校骑车回家用的时间是多少？

分析：上、下坡的速度不同，问题要分两段来研究。

根据函式图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为9600－3600=6000（米）。

∴上坡速度为3600÷18=200（米/分钟）

下坡速度为6000÷（30－18）=500（米/分钟）

小明回家时，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用时间为6000÷200+3600÷500=37.2（分钟）。

[例2]（2004年黄冈市）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关係时，实验记录得到的相应数据如下表：

求y关于x的函式解析式及自变数的取值範围。

分析：根据物理学知识可知，弹簧在外力（所挂砝码的重力）作用下发生形变（伸长），外力与指针位置的关係可以用一次函式表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变数的取值範围。

由已知数据求出：在弹簧受力伸长过程中，

令y=7.5，得x=275

∴所求函式为

注 两段之间的分界点是x=275，不是x=300。

[例3]（2005年黑龙江省）在直角坐标系中，已知点A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。问：在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由。

分析：在所研究的梯形中哪两边平行？有两种可能：如果，就是把直线CA平移，经过P点易求直线CA的解析式为

平移后得到直线的解析式为

如果

把直线PA：平移，经过C点

得到直线：

直线交x轴于点（－36，0）

直线的解析式为

如何理解函式概念

曹阳

函式是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函式及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函式的概念对今后的学习非常有用。回顾函式概念的发展史，“函式”作为数学术语是莱布尼兹首次採用的，他在1692年的论文中第一次提出函式这一概念，但其含义与现在对函式的理解大不相同。现代国中数学课程中，函式定义採用的是“变数说”。即：

在某变化过程中，有两个变数x，y，如果对于x在某一範围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那幺就把y称为x的函式，x称为自变数，y称为因变数。

它明确指出，自变数x在某一给定範围可以取任一个值，因变数y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但是，国中阶段并不要求掌握自变数的取值範围（看一下国中要学的几个函式可知，这个定义完全够用，而且，对于国中生来说，也容易理解）。

函式概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函式概念必须明确两点：第一，明确自变数和因变数的关係，在某变化过程中，有两个变数x，y，如果看成y随x 的变化而变化，那幺x称为自变数，y称为因变数；如果看成x随y的变化而变化，那幺y称为自变数，x称为因变数。第二，函式定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变数x的值就有唯一确定的因变数y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变数对应一个因变数”（简称“一对一”），也可以是“几个自变数对应一个因变数”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变数对应多个因变数”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关係（其中x是自变数，y是因变数）：

“一对一” “多对一” “一对多”

是函式 是函式 不是函式

图1

下面举4个例子帮助大家理解函式的概念：

例1 一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的範围内）时，弹簧的长度用y表示，测得有关的数据如表1：

表1

拉力F（kg）

1

2

3

4

…

弹簧的长度y（c）

…

弹簧的长度y是拉力F的函式吗？

分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y，满足函式的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函式。一般地，以表格形式给出的函式，第一行是自变数的值，第二行是因变数的值。

例2 图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。

图2

图2描述了哪些变数之间的关係？你能将其中某个变数看成另一个变数的函式吗？

分析：图中给出了三个变数，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函式。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变数对应了同一因变数。一般地，以图象形式给出的函式，横轴表示自变数，纵轴表示因变数。

例3 下列变数之间的关係是不是函式关係？说明理由。

⑴圆的面积S与半径r之间的关係；

⑵汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关係；

⑶等腰三角形的面积是，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关係。

分析：⑴圆的面积S与半径r之间的关係式是，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关係是函式关係。

⑵路程s（千米）和所用时间t（时）的关係式是，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关係是函式关係。

⑶底边长ycm和底边上的高xcm的关係式是，当底边上的高x确定时，底边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关係是函式关係。

一般地，以关係式形式给出的函式，等号左边是因变数，等号右边的未知数是自变数。

例4 下列图象中，不能表示函式关係的是（）

分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函式关係，因为任意给定一个自变数x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变数x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。

[问题2.9]设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。

幂函式的一般形式为y=x^a。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函式的定义域是R，如果q是偶数，函式的定义域是[0,+∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k），显然x≠0，函式的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那幺我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函式的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函式的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函式的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函式的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函式的定义域为不等于0 的所有实数。

在x大于0时，函式的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函式的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函式的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函式在第一象限的各自情况.

可以看到：

⑴所有的图形都通过（1，1）这点。

⑵当a大于0时，幂函式为单调递增的，而a小于0时，幂函式为单调递减函式。

⑶当a大于1时，幂函式图形下凹；当a小于1大于0时，幂函式图形上凸。

⑷当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

⑸a大于0，函式过（0，0）；a小于0，函式不过（0，0）点。

⑹显然幂函式无界。

设x∈R ， 用 [x]或int(x）表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数，则 y= [x] 称为高斯（Guass）函式，也叫取整函式。

任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1）

在一些程式语言中起着关键字的作用.　例如在delphi中是函式声明的关键字，举例

functionadd(a:integer;b:integer):integer;　begin　result:=a+b;end;

函式标识符自变数类型 意义 结果类型

abs 整型、实型绝对值同自变数

arctan 整型、实型 反正切 实型

cos 整型、实型余弦实型

exp 整型、实型 指数 实型

frac 整型、实型小数部分 实型

int 整型、实型整数部分实型

ln 整型、实型自然对数实型

pi 无自变数 圆周率 实型

sin 整型、实型正弦实型

sqr 整型、实型 平方 同自变数

sqrt 整型、实型平方根实型

例：abs(-4）=4 abs(-7.49）=7.49 arctan(0)=0.0

sin(pi)=0.0 cos(pi)=-1.0 frac(-3.71）=-0.71

int(-3.71）=-3.0 sqr⑷=16 sqrt⑷=2

函式标识符自变数类型 意义 结果类型

odd 整型 判断奇数 布尔型

pred 离散类型 求前趋 同自变数

succ 离散类型 求后继 同自变数

例：odd（1000)=false pred（2000)=1999 succ（2000)=2001

odd⑶=true pred('x')='w succ('x')='y'

函式标识符 自变数类型 意义 结果类型

chr byte 自变数对应的字元 字元型

ord 离散类型 自变数对应的序号 longint

round 实型四捨五入longint

trunc 实型 截断取整 longint

例：chr（66）='B' ord('A')=65 round(-4.3）=-5 trunc（2.88）=2

函式标识符 自变数类型 意义 结果类型

random 无自变数 [0,1间的随机实数 real

random word [0，自变数间的随机整数） word

randomize 无自变数 初始化内部随机数产生器 longint

upcase 字元型 使小写英文字母变为大写 字元型

downcase 字元型 使小写英文字母变为大写 字元型

SYSTEM TP的运行库，包括常用的标準函式和过程，可以在程式中直接使用，不需USES语句说明。

DOS 具有日期、时间、目录查找、程式执行等功能

CRT 具有萤幕模式控制、扩展键盘码、颜色、视窗、声音等 功能

PRINTER 支持列印输出操作。

GRAPH 高级图形软体包，支持多种图形适配器。

GRAPH3 实现TP3.0的图形软体包。

TURBO3 兼容TP3.0的源程式。

OVERLAY 实现高级覆盖管理

SYSTEM单元常用过程与函式

ABS(X) F 求变数的绝对值

ADDR(X) F 测变数地址

APPEND(F) P 打开一个存在的文本档案，并将档案指 针指向档案末尾準备添加元素

ARCTAN(X) F 反正切

ASSIGN(F,C) P 将字元串C所表示的外部档案名称赋给文 件变数F

ASSIGNED(X) P 测试程式当中的指针或变数是否为空

BLOCKREAD(F,D,NUM) P 读类型档案。

BLOCKWRITE(F,D,NUM) P 写无类型档案

BREAK P 中止或结束循环

CHDIR(PATH) P 改变当前目录

CHR(X) F 求ASCⅡ码值为X的字元

CLOSE(F) P 关闭档案

CONCAT(S1,S2...S3） F 字元串合併

CONTINUE P 继续循环

COPY(S,POS,LEN) F 返回一个字元串的子串

COS(X) F余弦函式

CSEG F 返回CS暂存器的当前值

DEC(X) F X:=X-1

DELETE(S,POS,LEN) P 删除一个字元串的子串

DISPOSE(P) P 释放一个动态变数

DSEG F 返回DS暂存器的当前值

EOF(F) F 判断档案是否结束

EOLN(F) F 判断档案类型中的一行是否结束

ERASE(F) P 删除一个存在的外部档案。

EⅪT P 过程中止

EXP(X) F 以E为底的指数函式

FILEPOS(F) F 档案记录的当前位置

FILESIZE(F) F 档案记录数

FILLCHAR(D,LEN,DATE) P 填充数值或字元

FLUSH(F) P 清空档案快取区

FRAC(X) F 取实形变数的小数部分

FREEMEM(P,I) P 释放变长动态变数

GETDIR(DRV,PATH) P 取当前盘，当前目录

GETMEM(P,I) P 分配变长的动态变数，并把块地址存放在一个指针变数中

HALT P 立即中止程式执行，返回TP编辑器或DOS

HI(I) F 返回一个变数的高位位元组

INSERT(S,D,POS) F 在一个字元串中某一位置开始插入一个子串

INT F 取整数部分

IORESULT F 返回最后一次输入/出操作的结果状态

LENGTH(S) F 取字元串的长度

LN(R) F 求自然对数

LO(I) F 返回一个变数的低位位元组

MAXAVAIL F 返回最大记忆体空间

MEMAVAIL F 返回可用记忆体数目

MKDIR(PATH) P 建立一个子目录

MOVE(S,D,LEN) P 快传送

NEW(P) P 建立一个新的动态变数

ODD(X) F 判断一个变数的值是否为奇数

OFS(X) F 侧变数偏移地址

ORD(CH) F 求一个字元的ASCⅡ码值

PARAMCOUNT F DOS参数串长度

PARAMSTR(N) F DOS参数串

PI F 圆周率的值

pos(str1,str2） f 测一个字元串中包含的另一个子串的开始位置

pred(x) f 求前驱

ptr(i) f 指针赋值

random f 返回0~1之间的随机实数

randomize p 初始化随机数发生器

read/readln(f,x) p 读入/输入数据

rename(f,str) p 给一个外部档案改名

reset(f) p 打开档案，并将档案指针指向开始，并準备读数据

rewrite(f) p 打开档案，并将档案指针指向开始，準备写资料

rmdir(path) p 删除一个子目录

round(x) f 求实数的近似数

runerror p 停止程式的运行

scrollto p 滚动显示视窗的某部分内容

seek(f,n) p 将档案指针定位于档案f的第n个档案成分上

seekrof(f) f 定位到档案尾

seekroln(f) f 定位到行尾

seg(n) f 测变数段地址

settextbuf(f) p 将输入/出缓冲区与一个文本档案建立关联

sin(x) f正弦函式

sizeof(x) f 测变数大小

sptr f 返回sp暂存器的当前值

sqr(x) f 平方

sqrt(x) f平方根

sseg f 返回ss暂存器的当前值

str(i,s) f 将一个整数转换成字元串

succ(X) f 后继函式

swap(x) f 交换一个变数的高位和低位位元组

trunc(x) f 截去实数的小数部分

truncate(f) p 截去档案当前指针以后的内容

upcase(ch) f 将小写字母转换成大写字母

val(s,r,p) p 将一个字元串转换成数值

writeln(f,x) p 输出

dos单元常用过程与函式

getdate p 返回系统当前日期

detftime p 返回最后一次写入的日期和时间

gettime p 返回系统当前时间

packtime p 转换系统日期和时间，封装成4个位元组的长整形格式

setdate p 设定系统当前日期

setftime p 写入新的系统日期和时间，覆盖系统最后一次写入的 系统日期和时间档案

settime p 设定系统当前时间

uppacktime p 将系统日期和时间转换成纪录格式

diskfree f 返回指定磁碟可用剩余空间

disksize f 返回指定磁碟的总容量

get/setverity p 返回/设定dos状态下的磁碟读写标记

fexpand f 返回函式名的全称

fsearch f 在一个目录中查找档案

fsplit f 将一个档案名称分成目录、档案名称、扩展名

3 turbo pascal基本函式过程及解释

findnext p 返回下一个满足匹配条件的档案名称

getfattr p 返回档案的属性

setfattr p 设定档案属性

gerintvec p 返回某箇中断变数值

intr p 执行软中断

msdos p 执行dos 系统调用

setintvec p 设定中断值

exec p 通过一个特定命令行执行特定程式段

keep p 中断程式的执行但仍驻留在记忆体中

swapvectors p 用当前变数交换所有中断变数值

dosexitcode f 回到子程式出口

dosversion f 显示dos版本

crt单元

assigncrt(f) p 将文本档案f与显示器crt建立联繫

clreol p 清除当前行游标所在位置以后的字元

clrscr p 清除当前视窗或萤幕，游标返回到左上角

delay(t) p 等待t毫秒

delline p 清除游标所在行上所有内容

gotoxy(x,y) p 将游标移到萤幕某处

highvideo p 选择高亮度显示字元

insline p 在当前游标位置插入空行

keypressed f 测定键盘输入状态

lowvideo p 低亮度显示字元

normvideo p 选择正常文本属性从游标所在位置开始显示字元

nosound p 关闭内部扬声器

readkey p 等待从键盘输入一个字元

sound(hz) p 以hz指定的频率发声

textbackground(soor) p 设定正文背景颜色

textcolor(color) p 设定正文前景颜色

textmode p 选择特定的文本显示模式

wherex/y f 返回当前游标位置的坐标值

window(x1,y1,x2,y2） p 在萤幕定义一个文本视窗

其他单元

chain(f) p 目标程式连结

execute(f) p 执行目标程式

mark(p) p 标记动态变数

release(p) p 释放动态变数区

srtinit p 萤幕初始化

crtline p 汉字萤幕方式转换

graphbackground(color) p 选择背景色

graphcolormode p 中解析度彩色图形方式，320*200彩色

graphmode p 中解析度黑白图形方式，320*200黑白

graphwindow(x1,y1,x2,y2,color)p 定义图形方式视窗

hires p 高解析度单色图形方式，640*200黑白

hirescolor(color) p 高解析度彩色图形方式，640*200彩色

palette(color) p 中解析度彩色图形颜色组

ovrpath(path) p 指定覆盖档案路径

draw(x1,y1,x2,y2,color) p 画线

intr(n,m) p 8086中断调用

plot(x,y,color) p 画点

random(integer) f 产生随机整数

seg(x) f 测变数段地址

colortable(c1,c2,c3,c4） p 重定义颜色组

arc(x,y,radius,color) p 画圆弧

circle(x,y,radius,color) p 画圆

getpic(buffer,x1,x2,y1,y2） p 萤幕转储到萤幕

putpic(buffer,x,y) p 缓冲器转储到萤幕

getdotcolor(x,y) p 读点

fillscreen(color) p 填充萤幕

fillshape(x,y,fillcol,bordercol) p 填充一个区域

常用数学函式

求绝对值函式abs(x)

定义：function Abs(X): (Same type as parameter);

说明：X可以是整型，也可以是实型；返回值和X的类型一致例子：

取整函式int(x)

定义：function Int(X: Real): Real;

注意：X是实型数，返回值也是实型的；返回的是X的整数部分，也就是说，X被截尾了（而不是四捨五入）例子：

var R: Real;

begin

R := Int（123.567）； { 123.0 }

R := Int(-123.456）； { -123.0 }

end.

截尾函式trunc(x)

定义：function Trunc(X: Real): Longint;

注意：X是实型表达式. Trunc 返回Longint型的X的整数部分例子：

begin

Writeln（1.4,' becomes ',Trunc（1.4））；

Writeln（1.5,' becomes ',Trunc（1.5））；

Writeln(-1.4,'becomes ',Trunc(-1.4））；

Writeln(-1.5,'becomes ',Trunc(-1.5））；

end.

四捨五入函式round(x)

定义：function Round(X: Real): Longint;

注意：X是实型表达式. Round 返回Longint型的X的四捨五入值.如果返回值超出了Longint的表示範围，则出错. 例子：

begin

Writeln（1.4,' rounds to ',Round（1.4））；

Writeln（1.5,' rounds to ',Round（1.5））；

Writeln(-1.4,'rounds to ',Round(-1.4））；

Writeln(-1.5,'rounds to ',Round(-1.5））；

end.

取小数函式frac(x)

定义：function Frac(X: Real): Real;

注意：X 是实型表达式. 结果返回 X 的小数部分； 也就是说，Frac(X) = X - Int(_X). 例子：

var

R: Real;

begin

R := Frac（123.456）； { 0.456 }

R := Frac(-123.456）； { -0.456 }

end.

求平方根函式sqrt(x）和平方函式sqr(x)

定义：平方根：function Sqrt(X: Real): Real;

注意：X 是实型表达式. 返回实型的X的平方根. 平方：function Sqr(X): (Same type as parameter);

注意：X 是实型或整型表达式.返回值的类型和X的类型一致，大小是X的平方，即X*X.

例子：

begin

Writeln('5 squared is ',Sqr⑸）；

Writeln('The square root of 2 is ',Sqrt（2.0)); { 1.414 }

参数

值形参，变数形参