在量子力学里,Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函式,垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨,在这种位势的作用中,一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是,在被Delta位势垒散射的状况下,粒子的反射係数与透射係数。在许多量子力学的教科书里,这是一个常见的习题。
基本介绍
- 中文名:Delta位势垒
- 外文名:Delta potential
- 领域:量子力学
定义
一个粒子独立于时间的薛丁格方程为
图1.对于一个Delta位势垒的散射











导引
这位势垒将一维空间分为两个区域:
与
。在任何一个区域内,位势为常数,薛丁格方程的解答可以写为往右与往左传播的波函式的叠加(参阅自由粒子):











由于
,
与
都是行进波。这两个波必须满足在
的边界条件:






特别注意第二个边界条件方程,波函式随位置的导数在
并不是连续的,在位势垒两边的差额有
这幺多。这方程的推导必须用到薛丁格方程。将薛丁格方程积分于{\displaystyle x=0\,\!}的一个非常小的邻域:






左边是

根据狄拉克Delta函式的定义,






从这两个边界条件方程。稍加运算,可以得到以下方程:


反射与透射
由于能量是正值的,粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间,
或
。可是,在Delta位势垒,粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒,粒子可能会被反射回去,或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射係数与透射係数。设定
,
,
,
。求算反射的机率幅
与透射的机率幅
:










反射係数是

透射係数是

这纯粹是一个量子力学的效应,称为量子隧穿效应;在经典力学里,透射係数等于0,粒子不可能会透射过位势垒。
- 由于模型的对称性,假若,粒子从右边入射,我们也会得到同样的答案。
- 很奇异地,给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函式的强度,Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射係数与透射係数。
参阅
- 自由粒子
- 无限深方形阱
- 有限深方形阱
- 有限位势垒
- 球对称位势
- Delta位势阱
- 量子隧穿效应